Question

【題目】如圖所示，矩形OABC的鄰邊OA、OC分別與x、y軸重合，矩形OABC的對稱中心P(4，3)，點Q由O向A以每秒1個單位速度運動，點M由C向B以每秒2個單位速度運動，點N由B向C以每秒2個單位速度運動，設運動時間為t秒，三點同時出發(fā)，當一點到達終點時同時停止.

（1）根據題意，可得點B坐標為__________，AC＝_________；

（2）求點Q運動幾秒時，△PCQ周長最小?

（3）在點M、N、Q的運動過程中，能否使以點O、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若能，請求出t值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）10 （2） （3）或

【解析】

（1）根據四邊形OABC為矩形，矩形OABC的對稱中心P(4，3)，即可得到B的坐標，再結合勾股定理可得AC的長.

（2）首先根據題意可得△PCQ周長等于CP、CQ、PQ的線段之和，而CP是定值，進而只要CQ和PQ的和最小即可.

（3）假設能，設出t值，利用MN=OQ，計算出t值即可.

（1）根據四邊形OABC為矩形，矩形OABC的對稱中心P(4，3)

可得B點的坐標為（8,6）

根據勾股定理可得

（2）設點Q運動t秒時，△PCQ周長最小

根據題意可得

要使△PCQ周長最小，則必須CQ+PQ最短，過x軸作P點的對稱點P’

所以可得C、P’、Q在一條直線上

C（0,6），（4，-3）

設直線方程為

即

因此，C所在的直線為

所以Q點的坐標為（ ，0）

所以OQ=

因此t=

（3）根據題意要使點O、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形

則OQ=MN

OQ=t

MN=8-2t-2t=8-4t或MN=2t+2t-8=4t-8

所以t=8-4t或t=4t-8

所以可得t=或t=