Question

若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，則有，，由上式可知，一元二次方程的兩根和、兩根積是由方程的系數(shù)確定的，我們把這個關(guān)系稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．若α，β是方程x²-x-1=0的兩根，記S₁=α+β，S₂=α²+β²，…，S_n=αⁿ+βⁿ，
（1）S₁=______S₂=______S₃=______S₄=______直接寫出結(jié)果）
（2）當(dāng)n為不小于3的整數(shù)時，由（1）猜想S_n，S_n-1，S_n-2有何關(guān)系？
（3）利用（2）中猜想求的值．

Answer 1

解：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有：
α+β=1，αβ=-1．
∴S₁=α+β=1．
S₂=α²+β²=（α+β）²-2αβ=1+2=3．
S₃=α³+β³=（α+β）（α²-αβ+β²）=（α+β）²-3αβ=1+3=4．
S₄=α⁴+β⁴=（α²+β²）²-2α²β²=9-2=7．
（2）由（1）得：S_n=S_n-1+S_n-2．
證明：∵α，β是方程的根，∴有：α²=α+1，β²=β+1，
S_n-1+S_n-2=α^n-1+β^n-1+α^n-2+β^n-2
=+++
=+
=αⁿ+βⁿ=S_n．
故S_n=S_n-1+S_n-2．
（3）由（2）有：
+=S₇=S₆+S₅
=S₅+S₄+S₄+S₃
=S₄+S₃+2S₄+S₃
=3S₄+2S₃
=3×7+2×4=29．
分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，寫出α+β，αβ的值，然后運(yùn)用完全平方公式和立方和公式進(jìn)行計(jì)算，求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．
（2）利用（1）中S₂=3，S₃=4，S₄=7，猜想S_n=S_n-1+S_n-2，然后由α，β是方程的根，得到α²=α+1，β^，2=β+1進(jìn)行證明．
（3）根據(jù)（2）中的猜想得到上式為S₇=S₆+S₅進(jìn)行計(jì)算求出式子的值．
點(diǎn)評：本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，（1）題根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用乘法公式計(jì)算求出S₁，S₂，S₃，S₄的值．（2）題以（1）題結(jié)果為依據(jù)猜想S_n，S_n-1，S_n-2的關(guān)系，并根據(jù)α，β是方程的根進(jìn)行證明．（3）題利用（2）題的結(jié)論進(jìn)行計(jì)算求出式子的值．