Question

（2002•昆明）已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對稱軸為坐標軸建立平面直角坐標系，設點A的坐標為（x，y），其中x＞0，y＞0．
（1）求出y與x之間的函數關系式，求出自變量x的取值范圍；
（2）用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問題：
方法：∵（k為常數且k＞0，a≠0），
∵
∴
∴當=0，即時，取得最小值2k．
問題：當點A在何位置時，矩形ABCD的外接圓面積S最小并求出S的最小值；
（3）如果直線y=mx+2（m＜0）與x軸交于點P，與y軸交于點Q，那么是否存在這樣的實數m，使得點P、Q與（2）中求出的點A構成APQ的面積是矩形ABCD面積的？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的對稱性和點A的坐標表示出矩形的長和寬，再根據矩形的面積建立函數解析式；
（2）要求矩形的外接圓的面積，主要是求得矩形的外接圓的半徑．根據對稱性得矩形的外接圓的圓心是平面直角坐標系的原點，則根據勾股定理求得其外接圓的半徑，再進一步表示出其外接圓的面積S．結合（1）中的函數解析式得到S關于x的函數解析式，再根據提供的方法進行分析其最小值；
（3）根據直線的解析式表示出點P，Q的坐標，再運用割補法把三角形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積表示出三角形的面積，根據題意列方程求解．
解答：解：（1）建立如圖的平面直角坐標系，
根據點A（x，y），得矩形的長是2x，寬是2y，
則有2x•2y=36，即y=（x＞0）；

（2）連接OA，則矩形的外接圓的半徑即為OA的長，根據勾股定理，得OA=，
∴矩形的外接圓面積S=π（x²+y²）
∵x²+y²=x²+=（x-）²+18
∴當x-=0，x=3時，即A（3，3）時S最小，其最小值是18π；

（3）存在．設AB與y軸相交于點E，
由已知，得A（3，3），Q（0，2），P（-，0），
∴S_△PAQ=S_梯形APOE-S_△AQE-S_△POQ=3-=6，
∴m=-．
點評：解答本題時要特別注意根據提供的方法求得函數的最值，能夠把不規(guī)則圖形的面積進行轉換．