Question

如圖，D是△ABC的邊BC上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，且DE=DF．
（1）下列結(jié)論中正確的有______（填上所有正確結(jié)論代號(hào)）
①AD是△ABC的中線     
②AD是△ABC的角平分線
③S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：DC
④AE=AF．
（2）在圖中連接EF，求證：AD垂直平分EF．

Answer 1

解：（1）∵DE⊥AC，DF⊥AB，DE=DF，
∴AD是△ABC的角平分線，
故②正確；
∵S_△ABD：S_△ACD=（AB•DF）：（AC•DE）=AB：AC=BD：DC，
故③正確；
∵∠DAF=∠DAE，∠AFD=∠AED=90°，
又∵∠ADF=90°-∠DAF，∠ADE=90°-∠DAE，
∴∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF；
故④正確；
∵BD不一定等于CD，
∴①錯(cuò)誤；
故答案為：②③④；

（2）∵DE⊥AC，DF⊥AB，DE=DF，
∴AD是∠ABC的平分線，
又∵∠ADF=90°-∠DAF，∠ADE=90°-∠DAE，
∴∠ADF=∠ADE，
∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF．
分析：（1）由DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥AB于點(diǎn)F，且DE=DF，根據(jù)角平分線的判定，即可證得AD是△ABC的角平分線；由三角形的面積公式，根據(jù)等高三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)底的比，即可證得S_△ABD：S_△ACD=AB：AC=BD：DC；易證得∠ADF=∠ADE，然后由角平分線的性質(zhì)，可證得AE=AF；
（2）根據(jù)（1）可證得AD是△ABC的角平分線且AE=AF，然后由三線合一，可證得AD垂直平分EF．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平分線的性質(zhì)與判定以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．