Question

（2013•寶山區(qū)一模）已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將一個直角三角板的直角頂點P放在射線OM上，OP=m（m為常數(shù)且m≠0），移動直角三角板，兩邊分別交射線OA，OB與點C，D
（1）如圖，當點C、D都不與點O重合時，求證：PC=PD；
（2）聯(lián)結(jié)CD，交OM于E，設CD=x，PE=y，求y與x之間的函數(shù)關系式；
（3）如圖，若三角板的一條直角邊與射線OB交于點D，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，F(xiàn)，且△PDF與△OCD相似，求OD的長．

Answer 1

分析：（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PM=PG，根據(jù)ASA可證△PCM≌△PDN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得PC=PD；
（2）根據(jù)AA可證△PDE∽△POD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到y(tǒng)與x之間的函數(shù)關系式；
（3）分①點C在AO上，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可求得OD的長；②點C在AO的延長線上，△PDF與△OCD相似只能是∠1=∠2，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDC=45°，然后求出∠1=22.5°，過點P作PG⊥OM交OD于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OG，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠3=22.5°，從而得到∠1=∠3，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得PG=DG=m，然后根據(jù)OD=OG+DG計算即可得解．

解答：（1）證明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
則∠PHC=∠PND=90°，
則∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分線
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH與△PDN中，

∠PHC=∠PND PH=PN ∠HPC=∠NPD

，
∴△PCH≌△PDN（ASA）
∴PC=PD；

（2）解：∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD²=

1

2

CD²，
∴PE=

1

2m

x²，即y與x之間的函數(shù)關系式為y=

1

2m

x²；

（3）①如圖1，點C在AO上時，∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=

1

2

DF=OP=m；
②如圖2，點C在AO的延長線上時，
△PDF與△OCD相似，若∠2=∠PFD，則PC∥CD，與PC、DC相交于點C矛盾，
所以，只能是∠1=∠2，
由（1）可知PC=PD，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠1=22.5°，
過點P作PG⊥OM交OD于G，
∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，
∴△POG是等腰直角三角形，
∴OG=

2

OP=

2

m，
PG=OP=m，
∵∠1+∠3=∠PGO=45°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=∠3，
∴PG=DG=m，
∴OD=OG+DG=

2

m+m=（

2

+1）m，
綜上所述，OD的長為：m或（

2

+1）m．

點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關系是解題的關鍵，（3）要分情況討論，容易漏解而導致出錯．