Question

如圖①，直線AM⊥AN，⊙O分別與AM、AN相切于B、C兩點，連接OC、BC，則有∠ACB=∠OCB；（請思考：為什么？）如果測得AB=a，則可知⊙O的半徑r=a。（請思考：為什么？）

（1）將圖①中直線AN向右平移，與⊙O相交于C₁、C₂兩點，⊙O與AM的切點仍記為B，如圖②，請你寫出與平移前相應的結論，并將圖②補充完整；判斷此結論是否成立，且說明理由。
（2）在圖②中，若只測得AB=a，能否求出⊙O的半徑r？若能求出，請你用a表示r；若不能求出，請補充一個條件（補充條件時不能添加輔助線，若補充線段請用b表示，若補充角請用α表示），并用a和補充的條件表示r。

Answer 1

解：（1）圖②中相應結論為∠AC1B=∠OC1B和∠AC2B=∠OC2B 先證∠AC1B=∠OC1B 連接OB、OC1， ∵AM與⊙O相切于B， ∴OB⊥AM； ∵AN⊥AM， ∴OB∥AN， ∴∠AC1B=∠OBC1； ∵OB=OC1， ∴∠OBC1=∠OC1B， ∴∠AC1B=∠OC1B 同理可證∠AC2B=∠OC2B。
（2）若只測得AB=a，不能求出⊙O的半徑r 補充條件：另測得AC1=b 作OD⊥C1C2，則C1D=C2D ∵AB2=AC1·AC2， ∴AC2= ∴C1C2=AC2-AC1=-b= ∴C1D=C1C2= 故r=OB=AD=AC1+C1D=b+=。（答案不唯一）