Question

【題目】如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，A(0，8)、B(6，0) .動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿y軸負(fù)半軸方向運(yùn)動(dòng)，速度每秒2個(gè)單位長度，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿BA方向向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度每秒1個(gè)單位長度.兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，Q點(diǎn)到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)△APQ面積為12，求t的值.

(2)當(dāng)△APQ的外心（三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)）在△APQ的邊上時(shí)，求t值.

(3)若Q點(diǎn)在直線AB上運(yùn)動(dòng)，過Q點(diǎn)作QH⊥x軸，垂足為H，當(dāng)△QBH與△ABO的相似比為1：2時(shí)，直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）5+或5-；(2) 或；（3）（3,4）或（9，-4）

【解析】

（1）作QC⊥OB于點(diǎn)C，根據(jù)平行線分線段成比例定理求出OC的長，然后根據(jù)三角形的面積公式列方程求解即可；

（2）由△APQ的外心在△APQ的邊上可知△APQ 是直角三角形，分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況求解即可；

（3）分點(diǎn)Q在線段AB上和射線AB上兩種情況求解即可.

（1）如圖1，作QC⊥OB于點(diǎn)C，則QC∥OA，

由題意得，AP=2t，BQ=t，AB=，AQ=10-t，

∵QC∥OA，

∴，

∴，

∴OC=，

∴，

解之得t1=5+，t2=5-，

∴t的值是5+或5-；

（2）∵△APQ的外心在△APQ的邊上，

∴△APQ的是直角三角形，

如圖2，當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，則PQ∥OB，

∴，

∴，

解之得：t=；

如圖3，當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，

∵，

∴，

解之得：t=.

∴t的值是或；

（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，

∵QH⊥OB,AO⊥OB,

∴△QBH∽△ABO,

∴,

∴,

∴BH=3,QH=4,

∴OH=6-3=3,

∴Q(3,4);

如圖5，當(dāng)點(diǎn)Q在射線AB上時(shí)，同理可求Q（9，-4）.

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)（3,4）或（9，-4）.