Question

已知：如圖，AB為⊙O的弦，過點O作AB的平行線，交⊙O于點C，直線OC上一點D滿足∠D=∠ACB．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑等于4，tan∠ACB=

4

3

，求CD的長．

Answer 1

（1）直線BD與⊙O相切．
證明：如圖，連接OB．
∵∠OCB=∠CBD+∠D，∠1=∠D，
∴∠2=∠CBD，
∵AB∥OC，
∴∠2=∠A，
∴∠A=∠CBD．
∵OB=OC，
∴∠BOC+2∠3=180°．
∵∠BOC=2∠A，
∴∠A+∠3=90°．
∴∠CBD+∠3=90°．
∴∠OBD=90°．
∴直線BD與⊙O相切．

（2）∵∠D=∠ACB，tan∠ACB=

4

3

，
∴tanD=

4

3

．
∵∠OBD=90°，OB=4，tanD=

4

3

，
∴sinD=

4

5

，OD=

OB

sinD

=5．
∴CD=OD-OC=1．