Question

已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)O，以直線O₁O₂為x軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系．在x軸上方的兩圓的外公切線AB與⊙O₁相切于點(diǎn)A，與⊙O₂相切于點(diǎn)B，直線AB交y軸于點(diǎn)c，若OA=3，OB=3．
（1）求經(jīng)過(guò)O₁、C、O₂三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線y=kx+m與（1）中的拋物線交于M、N兩點(diǎn)，若線段MN被y軸平分，求k的值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為何值時(shí)，四邊形MDNC是矩形？

Answer 1

解：（1）如圖，
連接HA，BK．
∵AB、OC是兩圓的公切線，
∴OC=AC=BC；
∴∠AOB=90°，
∴AB==6
∴OC=3
∴C（0，3）；
∵HO是⊙O₁的直徑，
∴∠HAO=∠AOB=90°；
∵AB是⊙O₁的切線，
∴∠BAO=∠OHA，
∴△AOH∽△OBA，
∴
∴
∴
∴O1的坐標(biāo)是（-3，0）
設(shè)經(jīng)過(guò)O₁、C、O₂三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c；
∴由c=3，0=27a-3，0=3a+b+c
可得a=-，b=-，c=3
∴；

（2）設(shè)直線y=kx+m與y軸交于點(diǎn)P（0，m），交拋物線于點(diǎn)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
分別由M、N向y軸引垂線，垂足為E、F；
∵M(jìn)P=NP，∠MPE=∠NPF，∠MEP=∠NFP=90°，
∴△MPE≌△NPF，
∴ME=NF，即|x₁|=|x₂|；
又∵M(jìn)、N在y軸兩側(cè)，
∴x₁、x₂異號(hào)，
∴x₁+x₂=0；
設(shè)
消去y并整理，得x²+（3k+2）x+3（m-3）=0
∴
∵x₁+x₂=0
∴
∴

（3）過(guò)M作NF的垂線，交NF的延長(zhǎng)線于G．
則NG=|x₁-x₂|==
MG=|y₁-y₂|=|k（x₁-x₂）|==
∴MN²=NC2+MG²=28（3-m），
∴
∵四邊形MDNC是矩形，
∴
又∵PC=|3-m|，
∴
∴m²+m-12=0，
∴m=-4或m=3（舍去，
∵點(diǎn)D在y軸負(fù)半軸上）；
∴PC=7，
∴PD=7；
∴OD=OP+PD=11，
∴D（0，-11）；
即當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-11）時(shí)，四邊形MDNC為矩形．
分析：（1）由于CO、AB都是兩圓的切線，根據(jù)切線長(zhǎng)定理可求得OC=AC=BC，即可得到∠AOB=90°，在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得到OC的值，即C點(diǎn)的坐標(biāo)；連接HA，證△HAO∽△AOB，通過(guò)相似三角形得到的比例線段即可求出OH的長(zhǎng)，由此可求得O₁的坐標(biāo)，同理可求出O₂的坐標(biāo)，進(jìn)而可用待定系數(shù)求出拋物線的解析式；
（2）過(guò)M、N分別作y軸的垂線，設(shè)垂足為E、F，若MN被y軸平分，那么MP=PN，可證得△MPE≌△NPF，由此得到M、N的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即兩者的和為0；可聯(lián)立直線與拋物線的解析式，可得到關(guān)于x的一元二次方程，那么M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的兩個(gè)根，已求得兩根的和為0，可根據(jù)韋達(dá)定理求出k的值；
（3）根據(jù)M、N的坐標(biāo)可求出MN的長(zhǎng)，若四邊形MDNC是矩形，那么對(duì)角線MN、CD相等且互相平分，則PC=12MN，由此可求出待定系數(shù)m的值，進(jìn)而可求出PC、PD的長(zhǎng)，也就能得到D點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相切兩圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，直角三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)，以及矩形的判定等，綜合性強(qiáng)，難度較大．