Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=112°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：射線ON是否平分∠AOC？請說明理由；

（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉至圖3，使射線ON恰好平分銳角∠AOC，求此時旋轉一共用了多少時間？

（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請?zhí)骄浚骸?/span>AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平分，理由見解析；（2）此時旋轉一共用了59秒；（3）∠AOM﹣∠NOC=22°，理由見解析

【解析】

（1）延長NO到點D，先得出∠MOB為直角，再利用∠MOB和∠MOC，可分別求出∠NOB和∠COD的大小，最后求出∠AOD的大小，得到平分；

（2）先求出旋轉的角度，然后用角度除速度即可；

（3）∠AOM和∠NOC都用含∠AON的式子表示出來，代入抵消可得結果

解：（1）平分，理由：延長NO到D，

∵∠MON=90°∴∠MOD=90°

∴∠MOB+∠NOB=90°，

∠MOC+∠COD=90°，

∵∠MOB=∠MOC=56° ∴∠NOB=∠COD=34°，

∵∠AOD=180°-∠BOC-∠COD=34°，

∴∠COD=∠AOD， ∴直線NO平分∠AOC；

（2）如圖3，當NO平分∠AOC時，∠NOA=34°，

∴∠AOM=56°， 即逆時針旋轉的角度為：180°+56°=236°，

由題意得，236÷4=59（秒）

答：此時旋轉一共用了59秒

（3）∠AOM﹣∠NOC=22°，

理由：∵∠AOM=90°﹣∠AON ∠NOC=68°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC

=（90°﹣∠AON）﹣（68°﹣∠AON）

=22°．