Question

（2012•廣州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC²=PE•PO．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若OE=

1

2

AE=1，求證∠PCA=∠B，并求sin∠PCA的值．

Answer 1

分析：（1）連接OC，根據(jù)PC²=PE•PO和∠P=∠P，證△PCO∽△PEC，推出∠PCO=∠PEC，求出∠PCO=90°即可；
（2）根據(jù)PC是⊙O的切線和AB為⊙O的直徑，求出∠BCO=∠PCA，推出∠PCA=∠B，求出OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，根據(jù)勾股定理求出EC=2

2

，求出BC=2

6

，根據(jù)sin∠PCA=sin∠B=

CE

BC

，代入求出即可．

解答：（1）證明：連接OC，
∵PC²=PE•PO，
∴

PC

PO

=

PE

PC

，
∵∠P=∠P，
∴△PCO∽△PEC，
∴∠PCO=∠PEC，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∴∠PCO=90°，且OC為半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：∵PC是⊙O的切線，AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=∠PCO=90°，
∴∠BCO=∠PCA，
又∵OB=OC，
∴∠BCO=∠B，
∴∠PCA=∠B，
∵OE=

1

2

AE=1，
∴OE=1，AE=2，OC=OB=OA=3，BE=4，
∵CD⊥AB，
∴EC=

OC2-OE2

=

32-12

=2

2

，
∴BC=

CE2+BE2

=

(2 2 )2+42

=2

6

，
∴sin∠PCA=sin∠B=

CE

BC

=

2 2

2 6

=

3

3

．

點評：本題綜合考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運用性質(zhì)進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．