Question

如圖，直線L與x軸、y軸分別交于A（6，0）、B（0，3）兩點，點C（4，0）為x軸上一點，點P在線段AB（包括端點A、B）上運動．
（1）求直線L的解析式；
（2）當點P的縱坐標為1時，按角的大小進行分類，請你確定△PAC是哪一類三角形，并說明理由；
（3）是否存在這樣的點P，使△POC為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線L的解析式為y=kx+b，
∵直線L過A、B兩點，
∴，
∴，
∴y=-x+3；

（2）y=1時，-x+3=1，
∴x=4，
∵P、C的橫坐標都為4，
∴PC⊥x軸，
∴△PAC是直角三角形；

（3）①顯然，點P運動至點B時，△POC是直角三角形；
②由（2）知，點P的坐標為（4，1）時，△POC是直角三角形；
③假設存在這樣的點P（m，n），使∠OPC=90°．
作PH⊥x軸，H為垂足，
∵△POH∽△CPH，
∴PH²=OH•CH，
∵PH=n，OH=m，CH=4-m，
∴n²=m（4-m）---------------------------①
又∵點P在直線L上，
∴n=-m+3---------------------------②
解由①和②組成的方程組，得，
，
∴P（2，2）或P．
綜上所述，符合條件的點P共有4個，坐標分別為：（0，3），（4，1），（2，2）和．
分析：（1）把A（6，0）、B（0，3）兩點代入直線L的方程，利用待定系數法即可求出函數的解析式；
（2）首先求出P點的坐標，然后根據P、C兩點的橫坐標相同，得出PC⊥x軸，從而確定△PAC的形狀；
（3）判斷P是否存在，可以先假設P存在，根據條件就可以求出關于P的條件，看是否滿足實際情況．
點評：求函數的解析式的常用方法是待定系數法，并且本題是存在性問題，是中考中常見的問題．