Question

（2006•上海模擬）如圖，已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC=10，BD=24．求菱形的高AE．

Answer 1

分析：法1：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OC、OB的長度，再根據(jù)勾股定理求出菱形的邊BC的長，然后求出△AEC和△BOC相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可；
法2：根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分求出OB、OC的長度，再根據(jù)勾股定理求出菱形的邊BC的長，然后利用菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半和底乘以高兩種方法列式求解即可．

解答：解：法1：在菱形ABCD中，
∵AC=10，BD=24，
∴OC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，OB=

1

2

BD=

1

2

×24=12，
∵AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），
∴BC=

OC2+OB2

=

52+122

=13，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=∠BOC=90°，
又∵∠ACE=∠BCO（菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角），
∴△AEC∽△BOC，
∴

AE

OB

=

AC

BC

，
即

AE

12

=

10

13

，
解得AE=

120

13

；

法2：在菱形ABCD中，
∵AC=10，BD=24，
∴OC=

1

2

AC=

1

2

×10=5，OB=

1

2

BD=

1

2

×24=12，
∵AC⊥BD（菱形的對(duì)角線互相垂直），
∴BC=

OC2+OB2

=

52+122

=13，
∴CD=BC=13，
S_菱形ABCD=CD•AE=

1

2

AC•BD，
即13AE=

1

2

×10×24，
解得AE=

120

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，主要涉及到菱形的對(duì)角線互相垂直平分，菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角，以及菱形的面積的求解，熟練掌握并靈活運(yùn)用菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．