Question

（本題滿(mǎn)分12分，任選一題作答．）
Ⅰ、如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊長(zhǎng)為5的正三角形OAB的OA邊在x軸的正半軸上．點(diǎn)C、D同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)C以1單位長(zhǎng)/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D以2個(gè)單位長(zhǎng)/秒的速度沿折線(xiàn)OBA運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，0＜t＜5．
（1）當(dāng)0＜t＜

5

2

時(shí)，證明DC⊥OA；
（2）若△OCD的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以點(diǎn)C為中心，將CD所在的直線(xiàn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°交AB邊于點(diǎn)E，若以O(shè)、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
Ⅱ、（1）如圖Ⅱ-1，已知△ABC，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)一條平分三角形面積的直線(xiàn)；
（2）如圖Ⅱ-2，已知l₁∥l₂，點(diǎn)E，F(xiàn)在l₁上，點(diǎn)G，H在l₂上，試說(shuō)明△EGO與△FHO面積相等．
（3）如圖Ⅱ-3，點(diǎn)M在△ABC的邊上，過(guò)點(diǎn)M畫(huà)一條平分三角形面積的直線(xiàn)．

Answer 1

分析：Ⅰ、（1）當(dāng)0＜t＜

5

2

時(shí)，點(diǎn)C不過(guò)OA中點(diǎn)，想證明垂直應(yīng)先作出一條和CD有關(guān)的垂線(xiàn)，利用相似求解；
（2）應(yīng)分當(dāng)0＜t＜

5

2

時(shí)，和

5

2

≤t＜5時(shí)兩種情況探討，應(yīng)用t表示利用特殊的三角函數(shù)表示出OC邊上的高．進(jìn)而表示出面積即可．
（3）以O(shè)、C、E、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形，那么應(yīng)根據(jù)（1）（2）中的兩種類(lèi)型的三角形，可分DE∥CO、CD∥OE兩種情況進(jìn)行探討；
Ⅱ、（1）根據(jù)三角形的面積公式，只需過(guò)點(diǎn)A和BC的中點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)即可；
（2）結(jié)合平行線(xiàn)間的距離相等和三角形的面積公式即可證明；
（3）結(jié)合（1）和（2）的結(jié)論進(jìn)行求作．

解答：Ⅰ、解：（1）作BG⊥OA于G．
在Rt△OBG中，

OG

OB

=cos∠BOA=cos60°=

1

2

，
而

OC

OD

=

1

2

，
∴

OG

OB

=

OC

OD

，
又∵∠DOC=∠BOG，
∴△DOC∽△BOG，
∴∠DCO=∠BGO=90°．
即DC⊥OA；

（2）當(dāng)0＜t＜

5

2

時(shí)，
在Rt△OCD中，CD=OD×sin60°=2t×

3

2

=

3

t，
∴S=

1

2

×OC×CD=

1

2

×t×

3

t=

3

2

t2；
當(dāng)

5

2

≤t＜5時(shí)（如圖2）
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥OA于H．
在Rt△AHD中，
HD=AD×sin60°=（10-2t）×

3

2

=

3

（5-t），
S=

1

2

×OC×HD=

1

2

×t×

3

（5-t）=

5 3

2

t-

3

2

t²；

（3）當(dāng)DE∥OC時(shí)，△DBE是等邊三角形．（如圖3）
BE=BD=5-2t．
在△CAE中，∠ECA=90°-∠DCE=30°，∠BAO=60°，
∴∠CEA=90°．
而AC=5-t，∴AE=

1

2

AC=

5-t

2

，
∴BE+AE=（5-2t）+

5-t

2

=5，
∴t=1，
因此AE=

5-t

2

=2．
過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OA于M．
則EM=AE×sin60°=2×

3

2

=

3

，
AM=AE×cos60°=2×

1

2

=1，OM=OA-AM=4．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，

3

）；
當(dāng)CD∥OE時(shí)（如圖4），BD=2t-5．
∠OEA=90°，∴CD⊥AB．
而△OAB是等邊三角形，
∴DE=BD-

1

2

AB=

5

2

，
∴2t-5=

5

2

，
∴t=

15

4

，
因此AE=

5-t

2

=

5

8

，
∴E的縱坐標(biāo)為

5

8

×

3

2

=

5 3

16

，
橫坐標(biāo)為5-

5

8

×

1

2

=

75

16

，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

75

16

，

5 3

16

）；
綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，

3

）或（

75

16

，

5 3

16

）；

Ⅱ、（1）解：取BC的中點(diǎn)D，過(guò)A、D畫(huà)直線(xiàn)，則直線(xiàn)AD為所求；

（2）證明：∵l₁∥l₂，
∴點(diǎn)E，F(xiàn)到l₂之間的距離都相等，設(shè)為h．
∴S_△EGH=

1

2

GH•h，S_△FGH=

1

2

GH•h，
∴S_△EGH=S_△FGH，
∴S_△EGH-S_△GOH=S_△FGH-S_△GOH，
∴△EGO的面積等于△FHO的面積；

（3）解：取BC的中點(diǎn)D，連接MD，過(guò)點(diǎn)A作AN∥MD交BC于點(diǎn)N，過(guò)M、N畫(huà)直線(xiàn)，則直線(xiàn)MN為所求．

點(diǎn)評(píng)：Ⅰ、是一道旋轉(zhuǎn)與運(yùn)動(dòng)相結(jié)合的大題，并且聯(lián)系函數(shù)與四邊形知識(shí)，要注意這些知識(shí)點(diǎn)間的融會(huì)貫通．
Ⅱ、主要是根據(jù)三角形的面積公式，知：三角形的中線(xiàn)把三角形的面積等分成了相等的兩部分；同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等．