Question

如圖三角形ABC中，有一內(nèi)接矩形EFGH，AD為BC邊上的高，BC=10，AD=8，矩形面積為S，AD與HG交于K，設(shè)GF為x，HG為y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意用含x的式子表示出AK，然后通過求證△AHG∽△ABC，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例，即可推出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)矩形的面積公式，則可推出S=xy，然后根據(jù)（1）的結(jié)論，即可表示出S關(guān)于x的二次函數(shù)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可推出x取何值時(shí)，S的值最大．

解答：解：（1）∵矩形EFGH，AD⊥BC，
∴HG∥BC，
∴AK⊥HG，KD=GF，
∴△AHG∽△ABC，
∵BC=10，AD=8，GF為x，HG為y．
∴AK=8-x，
∵AK：AD=GH：BC，
∴

8-x

8

=

y

10

，
∴y=-

5

4

x+10；

（2）∵S_矩形EFGH=GH•GF=xy=x•（-

5

4

x+10），
∴S=-

5

4

x2+10x，
∴x=-

b

2a

=4，
∴當(dāng)x=4時(shí)，S的值最大．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、二次函數(shù)最值，關(guān)鍵是根據(jù)三角形相似，推出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．