Question

（2013•天水）如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x-m．由于拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解．
方法一：翻折變換，將△NOB沿x軸翻折；
方法二：旋轉(zhuǎn)變換，將△NOB繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°．
特別注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后，該點(diǎn)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)也滿足題意，即滿足題意的P點(diǎn)有兩個，避免漏解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）
∴將A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得：

9a+3b=0 16a+4b=4

，解得：

a=1 b=-3

，
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．

（2）設(shè)直線OB的解析式為y=k₁x，由點(diǎn)B（4，4），
得：4=4k₁，解得：k₁=1
∴直線OB的解析式為y=x，
∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x-m，
∵點(diǎn)D在拋物線y=x²-3x上，
∴可設(shè)D（x，x²-3x），
又∵點(diǎn)D在直線y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此時x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2）．

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（0，3），
根據(jù)軸對稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO，
設(shè)直線A′B的解析式為y=k₂x+3，過點(diǎn)（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=

1

4

，
∴直線A′B的解析式是y=

1

4

x+3，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即點(diǎn)N在直線A′B上，
∴設(shè)點(diǎn)N（n，

1

4

n+3），又點(diǎn)N在拋物線y=x²-3x上，
∴

1

4

n+3=n²-3n，
解得：n₁=-

3

4

，n₂=4（不合題意，舍去）
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

3

4

，

45

16

）．

方法一：
如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則N₁（-

3

4

，-

45

16

），B₁（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴

OP1

ON1

=

OD

OB1

=

1

2

，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-

3

8

，-

45

32

）．
將△OP₁D沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點(diǎn)P₂（

45

32

，

3

8

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-

3

8

，-

45

32

）或（

45

32

，

3

8

）．

方法二：
如圖2，將△NOB繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△N₂OB₂，
則N₂（

45

16

，

3

4

），B₂（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂，
∴△P₁OD∽△N₂OB₂，
∴

OP1

ON2

=

OD

OB2

=

1

2

，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（

45

32

，

3

8

）．
將△OP₁D沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點(diǎn)P₂（-

3

8

，-

45

32

），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-

3

8

，-

45

32

）或（

45

32

，

3

8

）．

點(diǎn)評：本題是基于二次函數(shù)的代數(shù)幾何綜合題，綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、一次函數(shù)（直線）的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換以及相似三角形等重要知識點(diǎn)．本題將初中階段重點(diǎn)代數(shù)、幾何知識熔于一爐，難度很大，對學(xué)生能力要求極高，具有良好的區(qū)分度，是一道非常好的中考壓軸題．