Question

（2013•資陽）在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC，CD上的動點，連結(jié)DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．
（1）如圖1，當點M與點C重合，求證：DF=MN；
（2）如圖2，假設(shè)點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發(fā)，以

2

cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；
①判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由．
②連結(jié)FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a，t之間的關(guān)系；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；
（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=

1

3

a，進而得到CM=

1

3

a=

1

3

CD，所以該命題為真命題；
②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．

解答：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，
∴∠ADF=∠DCN．
在△ADF與△DNC中，

∠DAF=∠CDN=90° AD=CD ∠ADF=∠DCN

，
∴△ADF≌△DNC（ASA），
∴DF=MN．

（2）解：①該命題是真命題．
理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF=

1

2

AB=

1

2

CD．
∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，
∴

AE

EC

=

AF

CD

=

1

2

，
∴AE=

1

2

EC，則AE=

1

3

AC=

2

3

a，
∴t=

AE

2

=

1

3

a．
則CM=1•t=

1

3

a=

1

3

CD，
∴點M為邊CD的三等分點．
②能．理由如下：
易證△AFE∽△CDE，∴

AF

CD

=

AE

EC

，即

AF

a

=

2 t

2 a- 2 t

，得AF=

at

a-t

．
易證△MND∽△DFA，∴

ND

AF

=

DM

AD

，即

ND

at a-t

=

a-t

a

，得ND=t．
∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．
若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：
（I）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，
∴AF=ND，即

at

a-t

=t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，
∴t=

1

2

a，此時點F與點B重合；
（III）若FM=MN，顯然此時點F在BC邊上，如下圖所示：

易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；
又由△NDM∽△DCF，∴

DN

DM

=

DC

FC

，即

t

a-t

=

a

FC

，∴FC=

a(a-t)

t

．
∴

a(a-t)

t

=a-t，
∴t=a，此時點F與點C重合．
綜上所述，當t=a或t=

1

2

a時，△MNF能夠成為等腰三角形．

點評：本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關(guān)系；（3）運用分類討論的數(shù)學思想，避免漏解．