Question

如圖，已知矩形ABCD的面積為1．A₁、B₁、C₁、D₁分別為AB、BC、CD、DA的中點，若四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為S₁，A₂、B₂、C₂、D₂分別為A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁的中點，四邊形A₂B₂C₂D₂的面積記為S₂，…，依此類推，第n個四邊形A_nB_nC_nD_n的面積記為S_n，則S_n=

 

．

Answer 1

分析：首先探求四邊形A₁B₁C₁D₁的面積和矩形ABCD的面積關(guān)系：連接BD，根據(jù)三角形的中位線定理，得A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，則△AA₁D₁∽△ABD，且面積比是

1

4

，進(jìn)而得到四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為矩形ABCD的面積的一半，即

1

2

．推而廣之，則S_n=(

1

2

)n．

解答：解：連接BD．
根據(jù)三角形的中位線定理，得
A₁D₁∥BD，A₁D₁=

1

2

BD，
∴△AA₁D₁∽△ABD，且面積比是

1

4

．
∴四邊形A₁B₁C₁D₁的面積為矩形ABCD的面積的一半，即

1

2

．
推而廣之，則S_n=(

1

2

)n．

點評：此題主要是運用了三角形的中位線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．