Question

某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店的經營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在x天銷售的相關信息如表所示．

銷售量p（件）	p=50-x
銷售單價q（元/件）	當1≤x≤20時，q=30+ 1 2 x 當21≤x≤40時，q=20+ 525 x

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？
（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式；
（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

Answer 1

（1）當1≤x≤20時，令30+

1

2

x=35，得x=10，
當21≤x≤40時，令20+

525

x

=35，得x=35，經檢驗得x=35是原方程的解且符合題意
即第10天或者第35天該商品的銷售單價為35元/件．

（2）當1≤x≤20時，y=（30+

1

2

x-20）（50-x）=-

1

2

x²+15x+500，
當21≤x≤40時，y=（20+

525

x

-20）（50-x）=

26250

x

-525，
即y=

- 1 2 x2+15x+500(1≤x≤20) 26250 x -525(21≤x≤40)

，

（3）當1≤x≤20時，y=-

1

2

x²+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，
∵-

1

2

＜0，
∴當x=15時，y有最大值y₁，且y₁=612.5，
當21≤x≤40時，∵26250＞0，
∴

26250

x

隨x的增大而減小，
當x=21時，

26250

x

最大，
于是，x=21時，y=

26250

x

-525有最大值y₂，且y₂=

26250

21

-525=725，
∵y₁＜y₂，
∴這40天中第21天時該網站獲得利潤最大，最大利潤為725元．