Question

如圖，已知O是平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經過點O，且與x、y軸分別交于點A、C，點A的坐標為（-，0），AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D．
（1）求OC的長和∠CAO的度數；
（2）求點D的坐標；
（3）求點A，O，D三點的拋物線的解析式；
（4）在（3）中，點P是拋物線上的一點，試確定點P的位置，使得△AOP的面積與△AOC的面積相等．

Answer 1

解：（1）∵∠COA=90°，
∴AC為直徑．
∵⊙B的半徑為1，
∴AC=2
∵A（-，0）
∴OA=
∴cos∠CAO=
∴∠CAO=30°
∴OC=AC
∴OC=1

（2）連接OB，作DE⊥AO于E，
∴∠DEO=90°
∵DO是⊙B的切線
∴DO⊥BO
∴∠BOD=90°
∵AB=BO
∴∠CAO=∠AOB=30°
∴∠OBD=60°
∴∠BDO=30°
∴BD=2BO=2
在Rt△BOD中由勾股定理，得
DO=
∵∠DOE=∠OAD+∠ADO=60°
∴∠ODE=30°
∴OE=OD=，在Rt△ODE中，由勾股定理，得
DE=
∴D（，）

（3）∵OC=1
∴C（0，1）
設拋物線的解析式為y=a（x+）（x-0），由題意，得
=a（+），解得
a=
∴y=（x+）x
y=x²+x

（4）設存在點P，使△AOP的面積與△AOC的面積相等，做PF⊥OA于F
∴這兩個三角形OA邊上的高也相等，即PF=OC=1
∴當y=1時，
1=x²+x
解得：x₁=，x₂=
∴P（，1）或（，1）
分析：（1）根據圓B的半徑可以求出AC的長，由點A的坐標可以求出OA的長，在Rt△AOC中由勾股定理可以求出OC的長，利用解直角三角形的特殊角的三角函數值就可以求出∠CAO的度數．
（2）連接OB，過點D作DE⊥AO于E，利用（1）的結論可以求出∠DOE=60°，∠ODE=30°，由勾股定理可以求出OE、DE的長從而求得點D的坐標．
（3）設拋物線的解析式為兩根式的形式，運用待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（4）當存在點P時，根據底相等面積相等的兩三角形高相等就可以求出點P的縱坐標，代入拋物線的解析式就可以求出點P的坐標．
點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了勾股定理、特殊角的三角函數值、圓的切線的性質、直角三角形的性質、待定系數法求函數的解析式以及函數圖象上點的存在問題．