Question

（2013•河池）已知：拋物線(xiàn)C₁：y=x²．如圖（1），平移拋物線(xiàn)C₁得到拋物線(xiàn)C₂，C₂經(jīng)過(guò)C₁的頂點(diǎn)O和A（2，0），C₂的對(duì)稱(chēng)軸分別交C₁、C₂于點(diǎn)B、D．
（1）求拋物線(xiàn)C₂的解析式；
（2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結(jié)論；
（3）如圖（2），將拋物線(xiàn)C₂向m個(gè)單位下平移（m＞0）得拋物線(xiàn)C₃，C₃的頂點(diǎn)為G，與y軸交于M．點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)P（-

4

3

m，

1

3

m）在直線(xiàn)MG上．問(wèn)：當(dāng)m為何值時(shí)，在拋物線(xiàn)C₃上存在點(diǎn)Q，使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）設(shè)設(shè)拋物線(xiàn)C₂的解析式為y=x²+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；
（2）四邊形ODAB的形狀為正方形，求出拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，-1）和B的坐標(biāo)為（1，1）進(jìn)而證明四邊形ODAB為菱形，再證明是正方形即可；
（3）當(dāng)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)有兩種情況：①若MN是平行四邊形的一條邊②若MN是平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)，在分別討論求出滿(mǎn)足題意的m值即可．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)C₂經(jīng)過(guò)C₁的頂點(diǎn)O，
∴設(shè)拋物線(xiàn)C₂的解析式為y=x²+bx，
∵C₂經(jīng)過(guò)A（2，0），
∴4+2b=0，
解得：b=-2，
∴求拋物線(xiàn)C₂的解析式為y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴拋物線(xiàn)C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，-1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，1），
∴根據(jù)勾股定理得：OB=AB=OD=AD=

2

，
∴四邊形ODAB是菱形，
又∵OA=BD=2，
∴四邊形ODAB是正方形；

（3）∵拋物線(xiàn)C₂向m個(gè)單位下平移（m＞0）得拋物線(xiàn)C₃，
∴拋物線(xiàn)C₃的解析式為y=（x-1）²-1-m，
在y=（x-1）²-1-m中，令x=0，得y=-m，
∴M（0，-m），
∵點(diǎn)N是M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴N（0，m），
∴MN=2m，
當(dāng)M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)有兩種情況：
①若MN是平行四邊形的一條邊，
由MN=PQ=2m和點(diǎn)P（-

4

3

m，

1

3

m）得Q（-

4

3

m，

7

3

m），
∵點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)C₃上，
∴

7

3

m=（-

4

3

m-1）²-1-m，
解得：m=

3

8

或m=0（舍去），
②若MN是平行四邊形的一條對(duì)角線(xiàn)，由平行四邊形的中心對(duì)稱(chēng)得Q（

4

3

m，-

1

3

m）
∵點(diǎn)Q在拋物線(xiàn)C₃上，
∴-

1

3

m=（

4

3

m-1）²-1-m，解得：m=

15

8

或m=0（舍去）
綜上所述，當(dāng)m=

3

8

或

15

8

時(shí)，
在拋物線(xiàn)C₃上存在點(diǎn)Q，使得以M、N、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的平移、二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形、正方形的判定和性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)還有一元二次方程的解法以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，題目的綜合性很強(qiáng)，難度很大．