Question

閱讀材料：∵ax²+bx=c=0（a≠0）有兩根為x1=

-b+ b2-4ac

2a

．x2=

-b- b2-4ac

2a

．
∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．
綜上得，設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

利用此知識解決：是否存在實(shí)數(shù)m，使關(guān)于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2？若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：利用x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，根據(jù)代數(shù)式x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代入即可得到關(guān)于m的方程，即可求得m的值．

解答：解：由題意知
x₁+x₂=-

b

a

=-（m+1），
x₁x₂=

c

a

=m+4，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+1）²-2（m+4）=2，
∴m²=9，
∴m₁=3，m₂=-3，
又∵△=m²-2m-15≥0，
∴m≥5或m≤-3，
∴最后m=-3（m=3舍去）
存在實(shí)數(shù)m，使關(guān)于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2．

點(diǎn)評：本題是信息題，考查了利用根與系數(shù)的關(guān)系對代數(shù)式的變形求值．