Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+mx+n交x軸于A、B兩點(diǎn)，直線y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與這條拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M（1，2），且點(diǎn)M與拋物線的頂點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)圖象，寫(xiě)出函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）設(shè)題中的拋物線與直線的另一交點(diǎn)為C，已知P（x，y）為直線AC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)Q．當(dāng)-1≤x≤1.5時(shí)，求線段PQ的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)M和拋物線頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，即可得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)式函數(shù)解析式．
（2）令二次函數(shù)解析式中y=0求出x的值，確定出A與B的坐標(biāo)，利用函數(shù)圖象即可求出y小于0時(shí)x的范圍；
（3）將點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)代入y=kx+b求出k與b的值，確定直線AC的解析式，得到點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，x+1），根據(jù)直線AC和拋物線的解析式，即可得到P、Q的縱坐標(biāo)，從而得到關(guān)于PQ的長(zhǎng)和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出PQ的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，-2），
故其函數(shù)關(guān)系式為y=

1

2

（x-1）²-2=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由

1

2

x²-x-

3

2

=0，
得x=-1或3，即A（-1，0）、B（3，0）；
根據(jù)圖象得：函數(shù)值y為負(fù)數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍為-1＜x＜3；

（3）由（2）得：A（-1，0）、B（3，0）；
∵將A（-1，0）、M（1，2）代入y=kx+b中得：

-k+b=0 k+b=2

，
解得：

k=1 b=1

，
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1，
∴P坐標(biāo)為（x，x+1），Q的坐標(biāo)為（x，

1

2

x²-x-

3

2

），
∴PQ=（x+1）-（

1

2

x²-x-

3

2

）=-

1

2

x²+2x+

5

2

=-

1

2

（x-2）²+

9

2

，
∵a=-

1

2

＜0，-1≤x≤1.5，
∴當(dāng)x=1.5時(shí)，PQ有最大值為

35

8

，
即P點(diǎn)（1.5，2.5）時(shí)，PQ長(zhǎng)有最大值為

35

8

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．