Question

【題目】如圖，已知正方ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E到A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，則這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_____________

Answer 1

【答案】

【解析】

將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至△AGF的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證△AEF和△ABG為等邊三角形，即可證明EF=AE,GF=BE,所以根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC，表示Rt△GMC的三邊，根據(jù)勾股定理即可求出正方形的邊長(zhǎng).

解：如圖，將△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至△AGF的位置，連接EF,GC,BG，過點(diǎn)G作BC 的垂線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2m，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=2m,∠ABC=∠ABM=90°，

∵△ABE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°至△AGF，

∴,

∴△AEF和△ABG為等邊三角形，

∴AE=EF,∠ABG=60°，

∴EA+EB+EC=GF+EF+EC≥GC，

∴GC=，

∵∠GBM=90°-∠ABG =30°，

∴在Rt△BGM中，GM=m，BM=，

Rt△GMC中，勾股可得，

即：，

解得：，

∴邊長(zhǎng)為.

故答案為：.