Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)：點(diǎn)P以3cm/s的速度沿A?D?C的路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以4cm/s的速度沿A?B?C的路線運(yùn)動(dòng)，且P、Q兩點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），四邊形APCQ的面積為S（cm²），試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的t，使得四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得EC=15cm．由題意得
=，由此可以求出AD的長(zhǎng)，然后可以求出梯形的面積；
（2）設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為3t（cm），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為4t（cm）．
①當(dāng)0＜t≤時(shí)，P在AD上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t；
②當(dāng)＜t≤5時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60；
③當(dāng)5＜t＜10時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在BC上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．
（3）根據(jù)（2）的函數(shù)關(guān)系式，分別把已知梯形面積的代入其中就可以求出相應(yīng)的t，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行取舍
最后得到t的取值．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根據(jù)勾股定理得EC=15cm．由題意得=，
∴=．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面積===250（cm²）．

（2）當(dāng)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為3t（cm），點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路程為4t（cm）．
①當(dāng)0＜t≤時(shí)，P在AD上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)．
此時(shí)四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t．
②當(dāng)＜t≤5時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在AB上運(yùn)動(dòng)．
此時(shí)四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60．
③當(dāng)5＜t＜10時(shí)，P在DC上運(yùn)動(dòng)，Q在BC上運(yùn)動(dòng)．
此時(shí)四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．

（3）①當(dāng)0＜t≤時(shí)，由S=70t=250×，解得t=．
②當(dāng)＜t≤5時(shí)，由S=34t+60=250×，解得t=．
又∵＜t≤5，
∴t=不合題意，舍去．
③當(dāng)5＜t＜10時(shí)，由S=-46t+460=250×，
解得t=．
∴當(dāng)t=或t=時(shí)，四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的．
點(diǎn)評(píng)：在有關(guān)動(dòng)點(diǎn)的幾何問(wèn)題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對(duì)各種可能出現(xiàn)的圖形對(duì)每一種可能的情形都分別進(jìn)行研究和求解．換句話說(shuō)，分類思想在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中運(yùn)用最為廣泛．