Question

以AE為直徑的圓O與直角三角形的直角邊BC相切于點D，∠B=30°
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若BD=3，求BE的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD，
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：在Rt△ODB中，∠ODB=90°，∠B=30°，BD=3，
∵tanB=，
∴OD=BD•tanB=3×=3，
∴BO=2OD=6，
∵OE=OD=3，
∴BE=BO-OE=6-3=3．
分析：（1）進行證明一下，先連接OD，OD⊥BC和AC⊥BC，再由其平行從而得證；
（2）在Rt△ODB中求得OD，得到OB，從而得到所求．
點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題