Question

已知：二次函數(shù)的圖象過(guò)A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，且△ABD是直角三角形，則k=

-1或3

；若拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得△ABP是直角三角形，則k的取值范圍是

k≥3或k≤-1

．

Answer 1

分析：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+k，二次函數(shù)的圖象過(guò)A（1，0），B（k，0），列出二元一次方程組，用k表示出a和b，再根據(jù)△ABD是直角三角形，求出k的值；
當(dāng)k=3，k=-1時(shí)，△ABD是等腰直角三角形，利用k=3或k=-1這個(gè)臨界條件可以求出使得△ABP是直角三角形，則k的取值范圍．

解答：解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+k，二次函數(shù)的圖象過(guò)A（1，0），B（k，0），
則

a+b+k=0 ak2+bk+k=0

，
解得a=1，b=-k-1；
二次函數(shù)的解析式為y=x²-（k+1）x+k，
當(dāng)k＞1時(shí)，函數(shù)的圖象如圖1，
對(duì)稱(chēng)軸DE=

k+1

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

k+1

2

，

-(k-1)2

4

），
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
則AE=DE，

k+1

2

-1=

(k-1)2

4

，
解得k=3，
當(dāng)k＜0，函數(shù)的圖象如圖2，
同理求出k=-1；
D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，且△ABD是直角三角形，則k=-1或3；

當(dāng)k=3，k=-1時(shí)，△ABD是等腰直角三角形，
拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得△ABP是直角三角形，則點(diǎn)P只能在x軸的下方，
結(jié)合如圖1，當(dāng)k=3時(shí)，P點(diǎn)和D點(diǎn)重合，當(dāng)k＜3時(shí)，不存在直角三角形，
即只有當(dāng)k≥3時(shí)，△ABP是直角三角形；
結(jié)合如圖1，當(dāng)k=-1時(shí)，P點(diǎn)和D點(diǎn)重合，當(dāng)k＞-1時(shí)，不存在直角三角形，
即只有當(dāng)k≤-1時(shí)，△ABP是直角三角形；
綜上所述，當(dāng)k≥3或k≤-1時(shí)，拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)P，使得△ABP是直角三角形；
故答案為：-1或3；k≥3或k≤-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，解答本題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行解答，此題的難度較大，理解起來(lái)有一定的難度．