Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函數(shù)的解析式及圖象的對(duì)稱軸；
（2）點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)以每秒0.1個(gè)單位的速度沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)出發(fā)以相同的速度沿線段OA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
①當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形；
②設(shè)PQ與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，過(guò)M點(diǎn)作x軸的平行線交AB于點(diǎn)N，設(shè)四邊形ANPQ的面積為S，求面積S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)解析式，并指出t的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值或最小值．

Answer 1

分析：（1）知道二次函數(shù)的解析式經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入就能求得函數(shù)解析式，由解析式寫出對(duì)稱軸．
（2）①過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E，要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，算出時(shí)間t．
②設(shè)對(duì)稱軸與BC，x軸的交點(diǎn)分別為F，G，根據(jù)題意求出PF=QG，MFP≌△MGQ，由S=S_{四邊形ABPQ}-S_△BPN列出函數(shù)關(guān)系式，求出最小值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
將點(diǎn)A（3，0），B（2，-3）代入y=ax²+bx+c
得

0=9a+3b-3 -3=4a+2b-3

解得：a=1，b=-2．
∴y=x²-2x-3，
配方得：y=（x-1）²-4，
所以對(duì)稱軸直線為：x=1；

（2）①由題意可知：BP=OQ=0.1t，
∵點(diǎn)B，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，
∴BC∥OA，
過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E，
要使四邊形ABPQ為等腰梯形，只需PQ=AB，
∵BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分別為D，E，
∴△ABD和△QPE為直角三角形，
當(dāng)PQ=AB時(shí)，又∵BD=PE，
∴Rt△ABD≌Rt△QPE（HL），
∴QE=AD=1．
∵ED=BP=0.1t，DO=BC=2，
∴EO=2-0.1t，
又∵QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，
∴2-0.2t=1，
解得t=5．
即t=5秒時(shí)，四邊形ABPQ為等腰梯形．
②設(shè)對(duì)稱軸與BC，x軸的交點(diǎn)分別為F，G．
∵對(duì)稱軸x=1是線段BC的垂直平分線，
∴BF=CF=OG=1．
又∵BP=OQ，
∴PF=QG．
又∵∠PMF=∠QMG，∠MFP=∠MGQ=90°，
∴△MFP≌△MGQ（AAS），
∴MF=MG，
∴點(diǎn)M為FG的中點(diǎn)，
∴S=S_{四邊形ABPQ}-S_△BPN=S_{四邊形ABFG}-S_△BPN．
由S_{四邊形ABFG}=

1

2

(BF+AG)FG=

9

2

．
S△BPN=

1

2

BP×

1

2

FG=

3

40

t，
∴S=

9

2

-

3

40

t．
又∵BC=2，OA=3，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，需要20秒．
∴0＜t≤20．
∴當(dāng)t=20秒時(shí)，面積S有最小值3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，會(huì)求二次函數(shù)的對(duì)稱軸等一系列問(wèn)題，求最值問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，此題比較繁瑣，做題需要耐心．