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        1. 【題目】四邊形 OABC 在圖 1 中的直角坐標系中,且OCy 軸上,OA∥BC,A、B兩點的坐標分別為 A(18,0),B(12,8),動點 P、Q分別從 O、B兩點出發(fā),點 P以每秒2個單位的速度沿 OA 向終點 A 運動,點 Q 以每秒1個單位的速度沿BCC運動,當點 P停止運動時,點 Q 同時停止運動.動點 P、Q 運動時間為 t(單位:秒).

          (1)t 為何值時,四邊形 PABQ 是平行四邊形,請寫出推理過程;

          (2)如圖 2,線段 OB、PQ 相交于點 D,過點 D DE∥OA,交 AB 于點 E,射線 QE x 軸于點 F,PF=AO.當 t 為何值時,△PQF 是等腰三角形?請寫出推理過程;

          (3)如圖 3,過 B BG⊥OA 于點 G,過點 A AT⊥x 軸于點 A,延長 CB AT于點 T.將點 G 折疊,折痕交邊 AG、BG 于點 M、N,使得點 G 折疊后落在AT 邊上的點為 G′,求 AG′的最大值和最小值.

          【答案】(1)當 t 為 6 時,四邊形 PABQ 是平行四邊形;(2)當 t=1 或 t=時,△PQF 是等腰三角形;(3)AG′的最大值與最小值分別是 6,8﹣2

          【解析】

          (1)由梯形的性質(zhì)得出當 PA=BQ 時,四邊形 PABQ 是平行四邊形,BQ=t,

          OP=2t,得出方程,解方程即可;

          Q QHOF H,①當 FP=FQ 時,求出 CQ=OH=12﹣t,PH=12﹣3t, 得出 FH=3t+6,由勾股定理得出方程,解方程即可;

          ②當 PF=PQ ,PQ=P F=18, RtPQH ,由勾股定理得出方程,解方程即可

          ③當 PQ=FQ 時,PH=FH,得出方程 12﹣3t=6+3t,解方程即可;

          當折痕經(jīng)過點 A 時,AG=AG′=6,此時 AG′為最大值;當折痕經(jīng)過點 B,另一點在 AG 上時 AG′最小,此時,BG=BG′=8,在 RtBG′T 中,由勾股定理求出TG′,得出 即可.

          (1)OABC,

          PABQ,

          PA=BQ 時,四邊形 PABQ 是平行四邊形,BQ=t,OP=2t,

          A(18,0),

          PA=18﹣2t,

          t=18﹣2t, 解得:t=6,

          ∴當 t 6 時,四邊形 PABQ 是平行四邊形;

          (2)過 Q QHOF H,如圖 1 所示:

          分三種情況:

          ①當 FP=FQ 時,

          PF=AO=18,

          FQ=18,BQ=t,

          CQ=OH=12﹣t,

          PH=12﹣3t,

          FH=3t+6,

          RtQHF 中,由勾股定理得:QH2+FH2=FQ2,

          82+(3t+6)2=182

          解得:t1=,t2=(不合題意舍去);

          ②當 PF=PQ 時,PQ=PF=18,

          RtPQH 中,由勾股定理得:PQ2=PH2+QH2,

          (12﹣3t)2+82=182

          解得:t1=(不合題意舍去),t2=(不合題意舍去);

          ③當 PQ=FQ 時,PH=FH,

          12﹣3t=6+3t, 解得:t=1;

          綜上所述,當 t=1 t=時,△PQF 是等腰三角形;

          (3)當折痕經(jīng)過點 A 時,如圖 2 所示:

          AG=AG′=6,此時 AG′為最大值;

          當折痕經(jīng)過點 B,另一點在 AG 上時 AG′最小,如圖 3 所示:

          此時,BG=BG′=8,

          BT=6,

          ∴在 RtBG′T 中,

          綜上所述:AG′的最大值與最小值分別是

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