Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)E，AD⊥CD于點(diǎn)D．
（1）求證：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°．
①求AD的長(zhǎng)；
②求出圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由切線的性質(zhì)可知，OE⊥CD，再根據(jù)AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出結(jié)論；
（2）①先根據(jù)∠ABE=60°求出∠EAO的度數(shù)，進(jìn)而得出∠DAE的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出AE及BE的長(zhǎng)，在Rt△ADE中利用銳角三角函數(shù)的定義即可得出AD的長(zhǎng)；
②由三角形內(nèi)角和定理求出∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)OA=OB可知S_△AOE=S_△BOE=S_△ABE求出△AOE的面積，由S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）連接OE．
∵CD是⊙O的切線，
∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OE，
∴∠DAE=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
∴∠DAE=∠EAO，
∴AE平分∠DAC；

（2）①∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE=60°，
∴∠EAO=30°，
∴∠DAE=∠EAO=30°，
∵AB=3，
∴AE=AB•cos30°=3×=，BE=AB=，
在Rt△ADE中，
∵∠DAE=30°，AE=，
∴AD=AE•cos30°=×=；
②∵∠EAO=∠AEO=30°，
∴∠AOE=180°-∠EAO-∠AEO=180°-30°-30°=120°，
∵OA=OB，
∴S_△AOE=S_△BOE=S_△ABE，
∴S_陰影=S_扇形AOE-S_△AOE=S_扇形AOE-S_△ABE=-×××=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是切線的性質(zhì)及扇形面積的計(jì)算，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．