Question

如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過A作AD⊥AB且AD=3，過B作BE⊥AB且BE=1，連接DC、EC，若AB=5，設(shè)AC=x．
（1）DC+EC的長為

 

（用含x的式子表示，不必化簡）；
（2）當(dāng)點(diǎn)C的位置滿足

 

時(shí)，DC+EC的長最小，最小值是

 

；
（3）根據(jù)以上結(jié)論，你能通過構(gòu)圖求出

x2+4

+

(4-x)2+25

的最小值嗎？請(qǐng)畫出你的示意圖，適當(dāng)加以說明并求出此最小值．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的長度，然后分別在Rt△ACD與Rt△BCE中利用勾股定理求出DC與EC的長度，相加即可；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)C、D、E在同一直線時(shí)，DC+EC的長最小，此時(shí)△ACD與△BCE相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可求出x的值，再代入進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（3）根據(jù)（2）的求解思路畫出示意圖并利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，
∴BC=5-x，
∵AD=3，BE=1，
∴DC=

AD2+AC2

=

32+x2

，
EC=

BE2+EC2

=

12+(5-x)2

，
∴DC+EC的長為：

32+x2

+

12+(5-x)2

；

（2）如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)C、D、E在同一直線時(shí)，DC+EC的長最小，
此時(shí)，∠ACD=∠BCE（對(duì)頂角相等），
∠A=∠B=90°（垂直定義），
∴△ACD∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AC

BC

，
即

3

1

=

x

5-x

，
解得x=

15

4

，
此時(shí)，DC+EC=

32+x2

+

12+(5-x)2

=

32+( 15 4 )2

+

1+(5- 15 4 )2

=

41

；

（3）如圖所示，
根據(jù)（2）中的求解思路，
當(dāng)

2

5

=

x

4-x

時(shí)，
即x=

8

7

時(shí)，

x2+4

+

(4-x)2+25

有最小值，
此時(shí)

x2+4

+

(4-x)2+25

=

(5+2)2+42

=

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用軸對(duì)稱求最短路線的問題，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)以及相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式是解題的關(guān)鍵．