Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以直線(xiàn)x=對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與直線(xiàn)l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B兩點(diǎn)，與y軸交于C（0，5），直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)為F，G是拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一點(diǎn)，若，且△BCG與△BCD面積相等，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）若在x軸上有且僅有一點(diǎn)P，使∠APB=90°，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣5x+5，（2）G（3，﹣1），G（，）．（3）﹣1+

．

【解析】

（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系列出方程組解出a，b，c的值即得二次函數(shù)的解析式；

（2）作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)即可列出方程組求出一次函數(shù)解析式，再根據(jù)S△BCD=S△BCG列出等式即可求得G；

（3）根據(jù)題意列出等式求出x的值，則B（k+4，k2+3k+1），再根據(jù)以AB為直徑的圓與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且P為切點(diǎn)，得出O′P⊥x軸，P（，0），根據(jù)△AMP∽△PNB，得出AMBN=PNPM，代入數(shù)值即可求出k的值.

解：（1）由題意可得，

解得a=1，b=﹣5，c=5；

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣5x+5，

（2）作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足分別為M，N，

則，

∵MQ=，

∴NQ=2，B（，）；

∴，

解得，

∴，D（0，），

同理可求，，

∵S△BCD=S△BCG，

∴①DG∥BC（G在BC下方），，

∴=x2﹣5x+5，

解得，，x2=3，

∵x＞，

∴x=3，

∴G（3，﹣1）．

②G在BC上方時(shí)，直線(xiàn)G2G3與DG1關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

∴=，

∴=x2﹣5x+5，

解得，，

∵x＞，

∴x=，

∴G（，），

綜上所述點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（3，﹣1），G（，）．

（3）由題意可知：k+m=1，

∴m=1﹣k，

∴yl=kx+1﹣k，

∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5，

解得，x1=1，x2=k+4，

∴B（k+4，k2+3k+1），

設(shè)AB中點(diǎn)為O′，

∵P點(diǎn)有且只有一個(gè)，

∴以AB為直徑的圓與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且P為切點(diǎn)，

∴O′P⊥x軸，

∴P為MN的中點(diǎn)，

∴P（，0），

∵△AMP∽△PNB，

∴，

∴AMBN=PNPM，

∴1×（k2+3k+1）=（k+4﹣）（），

∵k＞0，

∴k==﹣1+．