Question

【題目】(2016湖南省邵陽(yáng)市第26題)已知拋物線y=ax2﹣4a（a＞0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示．

（1）求拋物線的解析式．

（2）設(shè)點(diǎn)M（m，n）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在曲線PA上移動(dòng)．

①當(dāng)點(diǎn)M在曲線PB之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)M使△APM的面積為？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣；(2)、①、（3，）；②、（，﹣）或（﹣，﹣）時(shí)，|m|+|n|的最大值為．

【解析】

試題分析：(1)、先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，根據(jù)∠PBA=120°，PB=AB，分別求出BC和PC的長(zhǎng)度即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即；(2)、①過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)D，分別用含m的式子表示點(diǎn)D、M的坐標(biāo)，然后代入△APM的面積公式DMAC，根據(jù)題意列出方程求出m的值；②根據(jù)題意可知：n＜0，然后對(duì)m的值進(jìn)行分類討論，當(dāng)﹣2≤m≤0時(shí)，|m|=﹣m；當(dāng)0＜m≤2時(shí)，|m|=m，列出函數(shù)關(guān)系式即可求得|m|+|n|的最大值．

試題解析：(1)、如圖1，令y=0代入y=ax2﹣4a， ∴0=ax2﹣4a， ∵a＞0， ∴x2﹣4=0，

∴x=±2， ∴A（﹣2，0），B（2，0）， ∴AB=4， 過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C， ∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，

∵PB=AB=4， ∴cos∠PBC=， ∴BC=2， 由勾股定理可求得：PC=2， ∵OC=OC+BC=4，

∴P（4，2）， 把P（4，2）代入y=ax2﹣4a， ∴2=16a﹣4a， ∴a=，

∴拋物線解析式為；y=x2﹣；

（2）∵點(diǎn)M在拋物線上， ∴n=m2﹣， ∴M的坐標(biāo)為（m， m2﹣），

①當(dāng)點(diǎn)M在曲線PB之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)， ∴2≤m≤4，

如圖2，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)D， 設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，

把A（﹣2，0）與P（4，2）代入y=kx+b，得：， 解得

∴直線AP的解析式為：y=x+， 令x=m代入y=x+， ∴y=m+，

∴D的坐標(biāo)為（m， m+）， ∴DM=（m+）﹣（m2﹣）=﹣m2+m+，

∴S△APM=DMAE+DMCE=DM（AE+CE）=DMAC=﹣m2+m+4

當(dāng)S△APM=時(shí)，∴=﹣m2+m+4， ∴解得m=3或m=﹣1， ∵2≤m≤4，

∴m=3， 此時(shí)，M的坐標(biāo)為（3，）；

②當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)， ∴﹣2≤m≤2，n＜0，

當(dāng)﹣2≤m≤0時(shí)， ∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣m2﹣m+=﹣（m+）2+，

當(dāng)m=﹣時(shí)， ∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為，

此時(shí)，M的坐標(biāo)為（﹣，﹣）， 當(dāng)0＜m≤2時(shí)，

∴|m|+|n|=m﹣n=﹣m2+m+=﹣（m﹣）2+，

當(dāng)m=時(shí)， ∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為， 此時(shí)，M的坐標(biāo)為（，﹣），

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，M的坐標(biāo)為（，﹣）或（﹣，﹣）時(shí)，|m|+|n|的最大值為．