Question

如圖．點A、B、C、D在⊙O上，AC⊥BD于點E，過點O作OF⊥BC于F，求證：
（1）△AEB∽△OFC；
（2）AD=2FO．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OB，根據(jù)圓周角定理可得∠BAE=∠BOC，根據(jù)垂徑定理可得∠COF=∠BOC，再根據(jù)垂直的定義可得∠OFC=∠AEB=90°，然后根據(jù)兩角對應相等，兩三角形相似證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得=，再根據(jù)圓周角定理求出∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，然后求出△ADE和△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可得=，從而得到=，再根據(jù)垂徑定理BC=2FC，代入整理即可得證．
解答：證明：（1）如圖，連接OB，則∠BAE=∠BOC，
∵OF⊥BC，
∴∠COF=∠BOC，
∴∠BAE=∠COF，
又∵AC⊥BD，OF⊥BC，
∴∠OFC=∠AEB=90°，
∴△AEB∽△OFC；

（2）∵△AEB∽△OFC，
∴=，
由圓周角定理，∠D=∠BCE，∠DAE=∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∴=，
∴=，
∵OF⊥BC，
∴BC=2FC，
∴AD=•FO=2FO，
即AD=2FO．
點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質，熟記兩個定理并準確識圖找出相等的角從而得到三角形相似是解題的關鍵．