Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AC向點(diǎn)C以2厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以1厘米/秒的速度運(yùn)動(dòng)；如果P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．

（1）經(jīng)過幾秒，△CPQ的面積等于3cm2？

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻t，使PQ恰好平分△ABC的面積？若存在，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）是否存在某一時(shí)刻，PQ長為，如果存在，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t。

Answer 1

【答案】（1）1或3秒；（2）不存在滿足條件的t；（3）

【解析】

（1）設(shè)出運(yùn)動(dòng)所求的時(shí)間，可將BP和BQ的長表示出來，代入三角形面積公式，列出等式，可將時(shí)間求出；
（2）將△PBQ的面積表示出來，根據(jù)△=b2-4ac來判斷；

（3）設(shè)經(jīng)過y秒后存在，則PC＝8－2y,CQ=y,根據(jù)勾股定理可得PC2+CQ2=()2,求方程即可.

（1）解：設(shè)經(jīng)過x秒，△CPQ的面積等于3cm2．則

x（8﹣2x）=3，

化簡(jiǎn)得x2﹣4x+3=0，

解得x1=1，x2=3；

（2）設(shè)存在某一時(shí)刻t，使PQ恰好平分△ABC的面積．則

t（8﹣2t）=××6×8，

化簡(jiǎn)得t2﹣4t+12=0，

b2﹣4ac=16﹣48=﹣32＜0，

故方程無實(shí)數(shù)根，即不存在滿足條件的t．

（3）設(shè)經(jīng)過y秒后存在PQ長為，則PC＝8－2y,CQ=y,

∵∠C=90°，

∴PC2+CQ2=()2,

解得：y1=,y2=5(不符合題意，舍去),

所以經(jīng)過秒后，PQ的長為.