Question

如圖1，在⊙O的直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)M，點(diǎn)C在⊙O上，點(diǎn)M在弧

AmB

上運(yùn)動，弦AC=4，CM與AB相交于點(diǎn)E，過A作AP∥CM交BC的延長線交于點(diǎn)P．
（1）當(dāng)M在運(yùn)動過程中，滿足

BC

=

BM

時
①求證：AP為⊙O的切線；
②若此時sin∠ACE=

1

3

，求⊙O的半徑．
（2）如圖2，連接CO，AM，OM，若∠OAC=60°，動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)M運(yùn)動到使S_△MAO=S_△CAO時，求動點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長．

Answer 1

分析：（1）①由

BC

=

BM

可以得出AB⊥CM于E，CE=ME，∠CEB=90°，由AP∥CM可以得出∠PAB=90°，進(jìn)而得出AB⊥AP，從而得出結(jié)論；
②由AB是直徑可以得出∠ACB=90°，可以得出∠ACE=∠B，就用sin∠B=

1

3

=

AC

AB

，從而可以求出AB，就可以求出半徑的值；
（2）當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時，就可以得出AO邊上的高相等，則點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于AB對稱，可以得出△AOM≌△AOC，就求出∠AOM=60°再根據(jù)弧長公式就可以求出

AM

的長度．

解答：解：（1）①證明：如圖3，∵AB為直徑，

BC

=

BM

，
∴AB⊥CM，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
∵AP∥CM，
∴∠PAB=90°
∴AB⊥AP，
∴AP為⊙O的切線；
②∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CEA=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠B．
∵sin∠ACE=

1

3

，
∴sin∠B=

1

3

=

AC

AB

，且AC=4，
∴

4

AB

= 

1

3

，
∴AB=12，
∴⊙O的半徑為6．

（2）∵∠OAC=60°，且OA=OC，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC=60°，
如圖2，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)C關(guān)于AB的對稱點(diǎn)M′時，S_△MAO=S_△CAO，則

AM′

=

60×4π

180

=

4

3

π，
如圖4，過點(diǎn)M′作M′M″∥AB，交⊙O于點(diǎn)M″，當(dāng)點(diǎn)M 運(yùn)動到M″時，S_△MAO=S_△CAO，則

AM″

=

120×4π

180

=

8

3

π．
∴動點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長為：

8

3

π或

4

3

π．

點(diǎn)評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的面積，圓周角定理的運(yùn)用，銳角三角函數(shù)的運(yùn)用．