Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長是16，點E在邊AB上，AE=3，動點F在邊BC上，且不與點B、C重合，將△EBF沿EF折疊，得到△EB′F.

（1）當∠BEF=45°時，求證：CF=AE；

（2）當B′D=B′C時，求BF的長；

（3）求△CB′F周長的最小值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）△CB′F周長的最小值為.

【解析】（1）利用正方形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）運用翻折的性質(zhì)在Rt△B′MF中運用勾股定理BF的長；（3）根據(jù)折疊的對稱性求出△CB′F周長的最小值.

（1）證明：

∵ABCD是正方形，

∴∠B=90°，AB=BC，

∵∠BEF=45°，

∴∠BFE=∠BEF=45°，

∴BE=BF，

∴AE=CF.

（2）如圖1，過B′點作GH∥AD，分別交AB、CD于點G、H，則∠B′GE=90°．

∵B′C=B′D，

∴DH=AG=DC=8，

∵AE=3，AB=16，

∴BE=13，

由翻折的性質(zhì)可得：B′E=BE=13．

∴ EG=AG﹣AE=8﹣3=5，

∴ B′G=，

過B′點作B′M∥BC交BC于點M，

則B′M=BG=8．BM=B′G=12，

設BF= ，則B′F=BF= ，F(xiàn)M=12﹣，

在Rt△B′MF中，∠B′MF=90°，

∴ B′F2= FM2+ B′M2，

即，

解得： ，即BF =．

（3）如圖2.

∵FB′+ FC=BC=16，

∴當CB′最小時，△CB′F的周長也最小，

而當C、B′、E三點共線時，CB′取最小值，

此時CB′=CE-EB′=，

∴△CB′F周長的最小值為.

或∵FB′+ FC=BC=16，

∴當CB′最小時，△CB′F的周長也最小，

當∠CB′F=90°時，CB′最小，

而這時C、B′、E三點共線，

此時CB′=CE-EB′=，

∴△CB′F周長的最小值為.

“點睛”本題考查了正方形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、折疊的對稱性，靈活運用性質(zhì)是解題的關鍵.