Question

已知，如圖△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連接DH與BE相交于點G．求證：
（1）BF=AC；
（2）CE=

1

2

BF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠A=∠DFB，推出BD=DC，根據(jù)AAS證出△BDF≌△CDA即可；
（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根據(jù)ASA證出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．

解答：（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴∠DCB=90°-45°=45°=∠DBC，
∴BD=DC，
在△BDF和△CDA中
∵

∠BDF=∠CDA ∠A=∠DFB BD=DC

，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF=AC；

（2）證明：∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠CEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
在△AEB和△CEB中
∵

∠AEB=∠CEB BE=BE ∠ABE=∠CBE

，
∴△AEB≌△CEB（ASA），
∴AE=CE，
即CE=

1

2

AC，
∵由（1）知AC=BF，
∴CE=

1

2

BF．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，題目綜合性比較強．