Question

在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=θ，△AEF為正三角形，E、F在菱形邊上．
（1）如圖1，當(dāng)θ=120°時，證明：不論E、F在BC、CD上如何移動，總有BE=CF．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)點E、F在BC、CD上移動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出其最大（小）值．
（3）操作探索：當(dāng)θ分別滿足下列條件時，能否作出菱形的內(nèi)接正三角形AEF（E、F分別在菱形邊上）？請?zhí)顚懴卤恚ú槐卣f明理由）．

滿足的條件	60°＜θ＜120°	θ=120°	120°＜θ＜180°
內(nèi)接正△AEF個數(shù)

Answer 1

分析：（1）連接AC，由四邊形ABCD是菱形與∠BAD=θ=120°，易證得△ABC是等邊三角形，又由△AEF為正三角形，易證得△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）由S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，即可得四邊形AECF的面積不變，由菱形的面積求解方法，即可求得這個定值，又由當(dāng)△AEF的面積最小時，△CEF的面積最大，當(dāng)AE⊥BC時，AE最小，則此時△AEF的面積最小，即可求得答案；
（3）由題意可得當(dāng)60°＜θ＜120°時，可作內(nèi)接正△AEF1個，當(dāng)θ=120°，可作內(nèi)接正△AEF無數(shù)個，當(dāng)120°＜θ＜180°可作內(nèi)接正△AEF3個．

解答：解：（1）連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BC∥AD，
∵∠BAD=θ=120°，
∴∠B=180°-∠BAD=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵△AEF為正三角形，
∴AE=AF，
∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF；

（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．
∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，
∵AB=4，∠B=60°，
∴AC=4，BD=4

3

，
∴S_菱形ABCD=

1

2

AC•BD=8

3

，
∴S_{四邊形AECF}=

1

2

S_菱形ABCD=4

3

；
∵當(dāng)△AEF的面積最小時，△CEF的面積最大，
∵當(dāng)AE⊥BC時，AE最小，則此時△AEF的面積最小，
∵△ABC是等邊三角形，AB=4，
∴AE=2

3

，
∴S_△AEF=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∴△CEF的面積最大值為：S_{四邊形AECF}-S_△AEF=4

3

-3

3

=

3

．

（3）填表如下：

滿足的條件	60°＜θ＜120°	θ=120°	120°＜θ＜180°
內(nèi)接正△AEF個數(shù)	1	無數(shù)個	3

點評：此題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．