Question

如圖,在直角坐標系中,以x軸上一點P（1,0）為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點,連接CP,⊙P的半徑為2.

（１）寫出A、B、D三點坐標;
（2）求過A、B、D三點的拋物線的函數(shù)解析式,求出它的頂點坐標.
（3）若過弧CB的中點Q作⊙P的切線MN交x軸于M,交y軸于N,求直線MN的解析式

Answer 1

（1）A（﹣1,0）,B（3,0）,,D（0,﹣）;
（2）函數(shù)解析式為：,它的頂點坐標為：（1,）;
（3）直線MN的解析式是y=﹣x+．

試題分析：（1）求出OA、OB,根據(jù)勾股定理求出OC,根據(jù)垂徑定理求出OD=OC,即可得出答案;
（2）根據(jù)A、B、D三點的坐標即可求出拋物線的函數(shù)解析式及它的頂點坐標;
（3）連接PQ,求出∠CPO,求出∠QPM,求出PM,得出M的坐標,求出MN=2ON,根據(jù)勾股定理求出ON,得出N的坐標,設直線MN的解析式是y=kx+b,把M、N的坐標代入求出即可．
試題解析：（1）∵P（1,0）,⊙P的半徑是2,
∴OA=2﹣1=1,OB=2+1=3,
在Rt△COP中,PC=2,OP=1,由勾股定理得：OC=,
由垂徑定理得：OD=OC=,
∴A（﹣1,0）,B（3,0）,C（0,）,D（0,﹣）;
（2）設函數(shù)解析式為
∵A（﹣1,0）,B（3,0）,D（0,﹣）
∴
解得：,
所以函數(shù)解析式為：,
,它的頂點坐標為：（1,）;
（3）連接PQ,

在Rt△COP中sin∠CPO=,
∴∠CPO=60°,
∵Q為弧BC的中點,
∴∠CPQ=∠BPQ=（180°﹣60°）=60°,
∵MN切⊙P于Q,
∴∠PQM=90°,
∴∠QMP=30°,
∵PQ=2,
∴PM=2PQ=4,
在Rt△MON中,MN=2ON,
∵MN²=ON²+OM²,
∴（2ON）²=ON²+（1+4）²,
∴ON=,
∴M（5,0）,N（0,）,
設直線MN的解析式是y=kx+b,
代入得：,
解得：k=﹣,b=,
∴直線MN的解析式是y=﹣x+．