Question

（本題14分）如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)CP=x， △PDQ的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求自變量的取值范圍；
（3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求出BM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
 

Answer 1

、解：（1）∵A、D關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱(chēng)，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，…………………………………………………………………………2分
∴△DHQ∽△ABC．……………………………………………………………………1分
（2）①如圖1，當(dāng)時(shí)，
ED=，QH=，
此時(shí)． …………………………………………2分
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
ED=，QH=，
此時(shí)． …………………………………………2分
∴y與x之間的函數(shù)解析式為（自變量取值寫(xiě)對(duì)給1分）
（3）①如圖1，當(dāng)時(shí)，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．……………………………………………………1分
顯然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分
②如圖2，當(dāng)時(shí)，
若DE=DH，=，；  …………………………………………1分
若HD=HE，此時(shí)點(diǎn)D，E分別與點(diǎn)B，A重合，； ………………………1分
若ED=EH，則△EDH∽△HDA，
∴，，．  ……………………………………2分
∴當(dāng)x的值為時(shí)，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相應(yīng)給分）

略