Question

如圖，拋物線y=－x+4x+5交x軸于A、B（以A左B右)兩點，交y軸于點C.

(1)求直線BC的解析式；

(2)點P為拋物線第一象限函數(shù)圖象上一點，設P點的橫坐標為m，△PBC的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式；

(3)在(2)的條件下，連接AP，拋物線上是否存在這樣的點P，使得線段PA被BC平分，如果不存在，請說明理由；如果存在，求點P的坐標.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=?? (2) S=?? (3)存在，P(2,9)或P(3,8)

【解析】

試題分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可得到點A、B的坐標，再令x=0求出點C的坐標，設直線BC解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；

（2）過點P作PH⊥x軸于H，交BC于F，根據(jù)拋物線和直線BC的解析式表示出PF，再根據(jù)S△PBC=S△PCF+S△PBF整理即可得解；

（3）設AP、BC的交點為E，過點E作EG⊥x軸于G，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得EG∥PH，然后判斷出△AGE和△AHP相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例可表示出EG、HG，然后表示出BG，根據(jù)OB=OC可得∠OCB=∠OBC=45°，再根據(jù)等角對等邊可得EG=BG，然后列出方程求出m的值，再根據(jù)拋物線解析式求出點P的縱坐標，即可得解．

試題解析：（1）當y=0時，x1=5，x2=－1，

∵A左B右，

∴A(-1，0),B(5，O)

當x=0時，y=5，

∴C（0,5），

設直線BC解析式為y=kx+b,

∴

∴

∴直線BC解析式為:y=；

(2)作PH⊥x軸于H，交BC于點F，

P(m，-m2+4m+5)，F(m,-m+5)

PF=-m2+5m ，

S△PBC=S△PCF+S△PBF

S=

∴S=；

(3)存在點P，

作EG⊥AB于G,PH⊥AB于H，

∴EG∥PH，

∴△AGE∽△AHP，

∴，

∵P(m，-m2+4m+5)，

EG=，

AH=m-(-1)=m+1，?? GH=，

HB=5-m ，GB=，

∵OC=OB=5，

∴∠OCB=∠OBC=45°，

∴EG=BG，

∴=，

∴m1=2??? m2=3，

當m=2時，P(2,9)，

當m=3時，P(3,8)，

∴存在這樣的點P, 使得線段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8)．

考點：二次函數(shù)綜合題．