Question

【題目】在正方形中，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．

（1）如圖1，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．

①求證：；

②如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到對(duì)應(yīng)，射線交于，交于，連接，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系．

（2）如圖3，若，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，直接寫出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①詳見(jiàn)解析；②詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）①欲證明DF=BE，只要證明△BCE≌△DCF（SAS）即可．
②證明△DCJ∽△FMJ，推出，推出△JMC∽△JFD，可得，推出DF=2CM可得結(jié)論．
（2）如圖3中，連接AE，延長(zhǎng)BC到T，使得CT=BC，連接AT．想辦法證明DF=AE，BE=ET，推出DF+BE=AE+ET．根據(jù)AE+ET≥AT，利用勾股定理求出AT即可解決問(wèn)題．

（1）①證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠DCF=90°，

∵CE=CF，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴BE=DF．

②解：結(jié)論：HG=2CM．

理由：如圖2中，設(shè)DH交BC于J．

∵∠DCG=30°，∠DCF=90°，

∴∠GCF=120°，

∵CG=CF，

∴∠CFG=∠CGF=30°，

∵CD=CH，∠DCH=120°，

∴∠CDH=∠CHD=30°，

∵∠DCJ=90°，

∴∠DJC=60°，DJ=2CJ

∴∠JMF=90°，

∵∠DJC=∠FJM，∠DCJ=∠FMJ，

∴△DCJ∽△FMJ，

∴，

∵∠MJC=∠FJD，

∴△JMC∽△JFD，

∴，

∴DF=2CM，

∵HG=DF，

∴HG=2CM．

（2）如圖3中，連接AE，延長(zhǎng)BC到T，使得CT=BC，連接AT．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=∠ABT=90°，

∵CF+CE=2=CD=CE+DE，

∴DE=CF，

∴△ADE≌△DCF（SAS），

∴AE=DF，

∵CD⊥BT，CB=CT，

∴EB=ET，

∴DF+BE=AE+ET，

∵AE+ET≥AT，AT=，

∴DF+BE=AE+ET≥，

∴DF+BE的最小值為．