Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．
（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）
（2）△BCD是直角三角形。理由見解析
（3）存在。符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：。

解析試題分析：（1）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式。
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
把點(diǎn)A（1，0）、B（﹣3，0）、C（0，3）代入，得
，解得。
∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3。
∵y=﹣x²﹣2x+3=﹣（x+1）²+4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4）。
（2）應(yīng)用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷。
△BCD是直角三角形。理由如下：
如圖，過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F，

∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC²=OB²+OC²=18。
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，
∴CD²=DF²+CF²=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD²=DE²+BE²=20。
∴BC²+CD²=BD^2。
∴△BCD為直角三角形。
（3）分P在x軸和y軸兩種情況討論，求出P的坐標(biāo)：．
①∵，∴。
又∵∠AOC=∠CDB=90°，∴△ACO∽△BCD。
∴當(dāng)P為原點(diǎn)O時(shí)，△ACP∽△BCD。
②當(dāng)AC是直角邊時(shí)，若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，a），則OC=3﹣a。
由，即，解得：a=﹣9，則P的坐標(biāo)是（0，﹣7）。
此時(shí)，△ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立。
③當(dāng)AC是直角邊，若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是（0，b），則OC=3﹣b，
由，即，解得：b=，故P是（0，）時(shí)，則△PCA∽△CBD一定成立。
④當(dāng)P在y軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
設(shè)P的坐標(biāo)是（d，0），則AB=1﹣d，
由，即，解得：d=1﹣3，此時(shí)，兩個(gè)三角形不相似。
⑤當(dāng)P在y軸上時(shí)，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，當(dāng)AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，
設(shè)P的坐標(biāo)是（e，0），則AB=1﹣e。
由，即，解得：e=﹣9，符合條件。
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：。