Question

（2012•澄海區(qū)模擬）若a是不為1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數(shù)．如：2的差倒數(shù)是

1

1-2

=-1，-1的差倒數(shù)是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推．
（1）分別求出a₂，a₃，a₄的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a₂₁₆₀的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)差倒數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)計(jì)算可知，每三個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)，求出每一個(gè)循環(huán)組的三個(gè)數(shù)的和，再用2160除以3求出正好有720個(gè)循環(huán)組，然后求解即可．

解答：解：（1）∵a₁=-

1

3

，
∴a₂=

1

1-(- 1 3 )

=

3

4

，
a₃=

1

1- 3 4

=4，
a₄=

1

1-4

=-

1

3

；

（2）根據(jù)（1）可知，每三個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)，
∵a₁+a₂+a₃=-

1

3

+

3

4

+4=

53

12

，2160÷3=720，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₁₆₀=

53

12

×720=3180．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)數(shù)字變化規(guī)律的考查，讀懂題意，理解“差倒數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵，（2）觀察得到每三個(gè)數(shù)為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)非常關(guān)鍵．