Question

如圖，拋物線E：y=ax²（a＞0）沿x軸正方向平移2個單位得到拋物線F，拋物線F的頂點為B，拋物線F交拋物線E于點A，點C是線段OB上一動點．
（1）求點A的坐標；
（2）求證：△AOB是等腰三角形；
（3）當a為何值時，直線AC把△AOB分割成的兩個三角形均為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由于拋物線E：y=ax²（a＞0）沿x軸正方向平移2個單位得到拋物線F，所以根據(jù)平移規(guī)律得到F的解析式為y=a（x-2）²，聯(lián)立兩個拋物線的解析式解方程組即可得到A的坐標；
（2）過點A作AD⊥OB于D，根據(jù)平移可以得到點B的坐標為（0，2），由此得到OB和OD的長度，由此即可得到點D是OB的中點，最后利用等腰三角形的判定即可證明△AOB是等腰三角形；
（3）設(shè)∠AOB=∠ABO=x°，當AC=CB=OC時，滿足條件如圖①所示，則4x=180，解方程即可解決問題；
當AC=OC，AB=CB時，滿足條件如圖②所示，則5x=180，解方程解決問題．

解答：解：（1）y=ax²平移后得到拋物線F的解析式為y=a（x-2）²，
∴

y=ax2 y=a(x-2)2

解得：

x=1 y=a

，
點A的坐標為（1，a）；

證明：（2）過點A作AD⊥OB于D
∴點B的坐標為（0，2）
∴OB=2，OD=1，
∴點D是OB的中點，
∴OA=BA，
△AOB是等腰三角形；

（3）設(shè)∠AOB=∠ABO=x°，
當AC=CB=OC時，滿足條件如圖①所示，
則x+x+x+x=180，
∴x=45°，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴a=1；
當AC=OC，AB=CB時，滿足條件如圖②所示，則 x+x+x+2x=180，
∴x=36°，
過A作AD⊥OB于D，則AD=a，OD=1，
在Rt△AOD中，a=OD•tan36°≈0.6．

點評：本題考查的是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、拋物線交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)與判定，也利用了三角函數(shù)的定義，綜合性比較強，定義學(xué)生的能力要求比較高，平時加強訓(xùn)練．