Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，連接DA，

交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，使得∠DAC=∠B．

（1）求證：DA是⊙O切線；

（2）求證：△CED∽△ACD；

（3）若OA=1，sinD=，求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】分析：（1）由圓周角定理和已知條件求出AD⊥AB即可證明DA是⊙O切線；

（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由題意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DEAD，故此可求得DE的長(zhǎng)，于是可求得AE的長(zhǎng)．

詳解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．

∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．

∵OA是⊙O半徑，∴DA為⊙O的切線；

（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．

∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．

∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．

∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．

∵AD==2．

又∵△CED∽△ACD，∴，∴DE==，

∴AE=AD﹣DE=2﹣=．