Question

(2005·遼寧大連)如圖所示，P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在平行于y軸的直線x=t，使它與直線y=x和直線分別交于點(diǎn)D、E(E在D的上方)，且△PDE為等腰直角三角形．若存在，求t的值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．

Answer 1

答案：略
解析：

解　存在． 　　方法1　當(dāng)x=t時(shí)，y=x=t；當(dāng)x=t時(shí)， 　　． 　　∴E點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為(t，t)． 　　∵E在D的上方，∴，且． 　　∵△PDE為等腰直角三角形， 　　∴PE=DE或PD=DE或PE=PD 　　若t＞0，PE=DE時(shí)，． 　　∴，． 　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)為． 　　若t＞0，PD=ED時(shí)， 　　∴∴P點(diǎn)坐標(biāo)為． 　　若t＞0．PE=PD時(shí),即DE為斜邊 　　∴ 　　∴，DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為， 　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)為． 　　若t＜0，PE=DE和PD=DE時(shí),由已知得，，t=4＞0(不符合題意，舍去)，此時(shí)直線x=t不存在． 　　若t＜0，PE=PD時(shí),即DE為斜邊，由已知得DE=－2t，， 　　∴t=－4，，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)． 　　綜上所述：當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)． 　　方法2　設(shè)直線交y軸于點(diǎn)A，交直線y=x于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BM垂直于y軸，垂足為M，交DE于點(diǎn)N． 　　∵x=t平行于y軸，． 　　∵，解得． 　　∴B點(diǎn)坐標(biāo)為，∴ 　　當(dāng)x=0時(shí)，，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，∴OA=2． 　　∵為等腰直角三角，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD． 　　如圖所示，若t＞0，PE=DE和PD=DE時(shí)，∴PE=t，PD=t 　　∵DE∥OA，∴， 　　．∴，∴ 　　當(dāng)時(shí)，，． 　　P點(diǎn)坐標(biāo)為或． 　　若t＞0,PD=PE時(shí)，即DE為斜邊， 　　∴DE=2MN=2t，∵DE∥OA∴∴．∴，∴MN=t=， 　　DE中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為． 　　∴P點(diǎn)坐標(biāo)為． 　　如圖所示，若t＜0，PE=DE或PD=DE時(shí)， 　　∵DE∥OA，∴ 　　．DE=－4(不符合題意，舍去，)此時(shí)直線不存在． 　　若t＜0，PE=PD時(shí)，即DE為斜邊， 　　∴DE=2NM=－2t． 　　∵DE∥OA，，∴ 　　∴，∴MN=4 　　∴t=－4，．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)． 　　綜上所述：時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)t=－4時(shí)，為等腰三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．