Question

在平面直角坐標(biāo)中，邊長為2的正方形的兩頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)在原點(diǎn).現(xiàn)將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)第一次落在直線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，邊交直線于點(diǎn)，邊交軸于點(diǎn)

（1）求邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積；
（2）旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)和平行時(shí)，求正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）設(shè)的周長為，在旋轉(zhuǎn)正方形的過程中，值是否有變化？請證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）π/2（2）22.5°(3)周長不會變化，證明見解析

(1)面積=OAOAπ45/360=π/2
(2)當(dāng)MN和AC平行時(shí)，AM/AB=CN/CB
因AB=CB，故AM=CN，△OAM≌△OCN
∠AOM=∠CON
又∠CON=∠YOA（因同時(shí)旋轉(zhuǎn)），∠CON+∠YOA=45°，故∠YOA=22.5°
(3)周長不會變化。
延長MA交Y軸于D點(diǎn)，則可證：
△OAD≌△OCN， AD=CN，OD=ON
△OMD≌△OMN，MN=MD=MA+AD=MA+NC
所以△MBN的周長為P=BM+BN+MN=BM+BN+MA+NC=AB+BC=2+2=4
（1））因?yàn)锳點(diǎn)第一次落在直線y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，所以O(shè)A旋轉(zhuǎn)了45度．所以O(shè)A在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積為π/2
(2)當(dāng)MN和AC平行時(shí)，∠AOM=∠CON，因同時(shí)旋轉(zhuǎn)，∠CON=∠YOA，即正方形旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為22.5°
(3) 延長MA交Y軸于D點(diǎn)，證得△OAD≌△OCN，△OMD≌△OMN，據(jù)此即可證明△MNP的周長等于正方形邊長的2倍，據(jù)此即可求解