Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（-2，0），B（8，0），以AB為直徑作半圓⊙P交y軸于M，以AB為一邊作正方形ABCD．
（1）求C、M兩點的坐標(biāo)；
（2）連CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說明你的理由．
（3）在x軸上是否存在一點Q，使△QMC周長最小？若存在，求出Q的坐標(biāo)及△QMC最小周長；若不存在．請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)得出BC=AB=10，得出C點坐標(biāo)，進而利用勾股定理求出OM的長，即可得出答案；
（2）利用已知得出，CM²+MP²=CP²，即可得出CM與⊙P相切；
（3）利用軸對稱性質(zhì)得出Q點的位置，進而利用勾股定理求出答案．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（8，0），
∴AB=10．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC=AB=10，
∴C（8，10）．       
連接MP
在Rt△OPM中，OP=3，MP=5，
∴OM=4，即M（0，4）；

（2）CM與⊙P相切，
理由：連接PC，在Rt△CBP中，CB=10，BP=5，
∴CP²=125．
在Rt△CEM中，EM=6，CE=8，
∴CM²=100．
∵100+25=125，
∴△CMP中，CM²+MP²=CP²，
∴∠CMP=90°．
即：PM⊥CM．
∴CM與⊙P相切．

（3）△QMC中，CM恒等于10，要使△QMC周長最小，即要使MQ+QC最�。�
故作M關(guān)于x軸對稱點M′，連CM′交x軸于點Q，連MQ，此時，△QMC周長最�。�
∵C（8，10），M′（0，-4），
設(shè)直線CM′：y=kx+b（k≠0）
∴

8k+b=10 b=-4

，
∴

k= 7 4 b=-4

，
∴y=

7

4

x-4，
當(dāng)y=0時，x=

16

7

，
∴Q（

16

7

，0）
∵x軸垂直平分MM′，
∴QM=QM′，
∴MQ+QC=M'Q+QC=M′C．         
在Rt△CEM′中，CE=8，EM′=14，
∴CM′=2

65

，MC=10，
∴△QMC周長最小值為：2

65

+10．
∴存在符合題意的點，此時△QMC周長最小值為2

65

+10．

點評：此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用以及利用軸對稱求最小值問題和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，根據(jù)已知得出對稱點Q的位置是解題關(guān)鍵．